problems19
Exercise 1Page 1Black-Scholes option pricing formulaS 50 current stock priceX 50 exercise pricer 10.00% risk-free rate of interestT 0.5 time to maturity of option (in years)Sigma 25% stock volatilityd1 0.3712 - =(LN(B2/B3)+(B4+0.5*B62)*B5)/(B6*SQRT(B5)d2 0.1945 - =B8-SQRT(B5)*B6N(d1) 0.6448 - =NORMSDIST(B8)N(d2) 0.5771 - =NORMSDIST(B9)call price 4.79 - =B2*B11-B3*EXP(-B4*B5)*B12put price 2.35 - =B14-B2+B3*EXP(-B4*B5)Exercise 1 中文Page 2布莱克-斯科尔斯期权定价公式S 50当前的股票价格X 50执行价格r 10.00% 无风险利率T 0.5期权到期时间 (年)Sigma 25% 股票波动性d1 0.3712 - =(LN(B2/B3)+(B4+0.5*B62)*B5)/(B6*SQRT(B5)d2 0.1945 - =B8-SQRT(B5)*B6N(d1) 0.6448 - =NORMSDIST(B8)N(d2) 0.5771 - =NORMSDIST(B9)看涨期权价格 4.79 - =B2*B11-B3*EXP(-B4*B5)*B12看跌期权价格 2.35 - =B14-B2+B3*EXP(-B4*B5)Exercise 2Page 3Black-Scholes option pricing formulaS 50 current stock priceX 50 exercise pricer 10.00% risk-free rate of interestT 0.5 time to maturity of option (in years)Sigma 25% stock volatilityd1 0.3712 -(LN(S/X)+(r+0.5*sigma2)*T)/(sigma*SQRT(T)d2 0.1945 - d1 - sigma*SQRT(T)N(d1) 0.6448 - Uses formula NormSDist(d1)N(d2) 0.5771 - Uses formula NormSDist(d2)call price 4.79 - S*N(d1)-X*exp(-r*T)*N(d2)put price 2.35 - call price - S + X*Exp(-r*T): by Put-Call parity2.35 - X*exp(-r*T)*N(-d2)-S*N(d1): direct formulaBelow: Data tables for the sensitivitiesSensitivity of Call Price to Initial Stock Price4.7936 0.17958138 0.36389240 0.666342 1.1198244 1.75028546 2.57253648 3.58907950 4.79111852 6.16124154 7.67680656 9.31317858 11.0463260 12.8545162 14.7192664 16.62554Sensitivity of Put Price to Sigma2.3510.0% 0.48660812.5% 0.76804915.0% 1.06870417.5% 1.38086920.0% 1.70037322.5% 2.02478425.0% 2.35258927.5% 2.68279430.0% 3.01472132.5% 3.34788735.0% 3.68193537.5% 4.01659840.0% 4.351665S e n s i t v i t y o f C a l l P r i c e t o S t o c k P r i c e6 45 95 44 94 43 93 4024681 01 21 41 61 8S t o c k P r i c eCallPriceS e n s i t i v t y o f P u t P r i c e t o S i g m a4 5 .0 %4 0 .0 %3 5 .0 %3 0 .0 %2 5 .0 %2 0 .0 %1 5 .0 %1 0 .0 %5 .0 %0 .0 %00 .511 .522 .533 .544 .55S i g m aPutPriceExercise 2Page 4Sensitivity of Call Price to time to Maturity4.790.2 2.7371380.3 3.491940.4 4.1672270.5 4.7911180.6 5.3779880.7 5.9363520.8 6.4717440.9 6.9879971 7.4878951.1 7.9735371.2 8.4465481.3 8.9082221.4 9.359606Sensitivity of Call Price to Interest Rate4.795% 4.1300086% 4.2581297% 4.3883338% 4.5205889% 4.65486110% 4.79111811% 4.92932112% 5.06943313% 5.21141414% 5.35522215% 5.50081616% 5.64815117% 5.79718118% 5.947862Sensitivity of Put Price to exercise Price2.3538 0.09782340 0.20313642 0.38294544 0.66447246 1.0736948 1.631850 2.35258952 3.24117954 4.29423856 5.5013458 6.84698460 8.312792S e n s i t i v i t y o f C a l l P r i c e t o T i m e t o M a t u r i t y1 .61 .41 .210 .80 .60 .401234567891 0T i m e t o M a t u r i t yCallPriceS e n s i t i v i t y o f C a l l P r i c e t o I n t e r e s t R a t e1 9 %1 7 %1 5 %1 3 %1 1 %9 %7 %5 %33 .544 .555 .566 .5I n t e r e s t R a t e ( r )CallPriceS e n s i t v i t y o f P u t P r i c e t o E x e r c i s e P r i c e6 86 35 85 34 84 33 8024681 01 21 4E x e r c i s e P r i c e ( X )PutPriceS e n s i t i v t y o f P u t P r i c e t o S i g m a4 5 .0 %4 0 .0 %3 5 .0 %3 0 .0 %2 5 .0 %2 0 .0 %1 5 .0 %1 0 .0 %5 .0 %0 .0 %00 .511 .522 .533 .544 .55S i g m aPutPriceExercise 2Page 562 9.87948964 11.52845S e n s i t v i t y o f P u t P r i c e t o E x e r c i s e P r i c e6 86 35 85 34 84 33 8024681 01 21 4E x e r c i s e P r i c e ( X )PutPriceExercise 2Page 6Below: Data tables for the sensitivitiesS e n s i t v i t y o f C a l l P r i c e t o S t o c k P r i c e6 45 95 44 94 43 93 4024681 01 21 41 61 8S t o c k P r i c eCallPriceS e n s i t i v t y o f P u t P r i c e t o S i g m a4 5 .0 %4 0 .0 %3 5 .0 %3 0 .0 %2 5 .0 %2 0 .0 %1 5 .0 %1 0 .0 %5 .0 %0 .0 %00 .511 .522 .533 .544 .55S i g m aPutPriceExercise 2Page 7S e n s i t i v t y o f P u t P r i c e t o S i g m a4 5 .0 %4 0 .0 %3 5 .0 %3 0 .0 %2 5 .0 %2 0 .0 %1 5 .0 %1 0 .0 %5 .0 %0 .0 %00 .511 .522 .533 .544 .55S i g m aPutPriceS e n s i t i v i t y o f C a l l P r i c e t o T i m e t o M a t u r i t y1 .61 .41 .210 .80 .60 .401234567891 0T i m e t o M a t u r i t yCallPriceS e n s i t i v i t y o f C a l l P r i c e t o I n t e r e s t R a t e1 9 %1 7 %1 5 %1 3 %1 1 %9 %7 %5 %33 .544 .555 .566 .5I n t e r e s t R a t e ( r )CallPriceS e n s i t v i t y o f P u t P r i c e t o E x e r c i s e P r i c e6 86 35 85 34 84 33 8024681 01 21 4E x e r c i s e P r i c e ( X )PutPriceExercise 2Page 8S e n s i t v i t y o f P u t P r i c e t o E x e r c i s e P r i c e6 86 35 85 34 84 33 8024681 01 21 4E x e r c i s e P r i c e ( X )PutPriceExercise 2 中文Page 9布莱克-斯科尔斯期权定价公式S 50当前股票价格X 50执行价格r 10.00% 无风险利率T 0.5期权到期时间爱(年)Sigma 25% 股票波动性d1 0.3712 -(LN(S/X)+(r+0.5*sigma2)*T)/(sigma*SQRT(T)d2 0.1945 - d1 - sigma*SQRT(T)N(d1) 0.6448 - 使用公式 NormSDist(d1)N(d2) 0.5771 - 使用公式 NormSDist(d2)看涨期权价格 4.79 - S*N(d1)-X*exp(-r*T)*N(d2)看跌期权价格 2.35 - 看涨期权价格 - S + X*Exp(-r*T): 通过看跌-看涨期权平价2.35 - X*exp(-r*T)*N(-d2)-S*N(d1): 直接公式下面: 敏感性的模拟运算表看涨期权价格对初始股票价格的敏感性4.7936 0.17958138 0.36389240 0.666342 1.1198244 1.75028546 2.57253648 3.58907950 4.79111852 6.16124154 7.67680656 9.31317858 11.0463260 12.8545162 14.7192664 16.62554看跌期权价格对Sigma的敏感性2.3510.0% 0.48660812.5% 0.76804915.0% 1.06870417.5% 1.38086920.0% 1.70037322.5% 2.02478425.0% 2.35258927.5% 2.68279430.0% 3.01472132.5% 3.34788735.0% 3.68193537.5% 4.01659840.0% 4.351665看 涨 期 权 价 格 对 股 票 价 格 的 敏 感 性6 45 95 44 94 43 93 4024681 01 21 41 61 8股 票 价 格看涨期权价格看 跌 期 权 价 格 对 Sigma的 敏 感 性4 5 .0 %4 0 .0 %3 5 .0 %3 0 .0 %2 5 .0 %2 0 .0 %1 5 .0 %1 0 .0 %5 .0 %0 .0 %00 .511 .522 .533 .544 .55S i g m a看跌期权价格Exercise 2 中文Page 10看涨期权价格对到期时间的敏感性4.790.2 2.7371380.3 3.491940.4 4.1672270.5 4.7911180.6 5.3779880.7 5.9363520.8 6.4717440.9 6.9879971 7.4878951.1 7.9735371.2 8.4465481.3 8.9082221.4 9.359606看涨期权价格对利率的敏感性4.795% 4.1300086% 4.2581297% 4.3883338% 4.5205889% 4.65486110% 4.79111811% 4.92932112% 5.06943313% 5.21141414% 5.35522215% 5.50081616% 5.64815117% 5.79718118% 5.947862看跌期权价格对执行价格的敏感性2.3538 0.09782340 0.20313642 0.38294544 0.66447246 1.0736948 1.631850 2.35258952 3.24117954 4.29423856 5.5013458 6.84698460 8.312792看 涨 期 权 价 格 对 到 期 时 间 的 敏 感 性1 .61 .41 .210 .80 .60 .401234567891 0到 期 时 间看涨期权价格看 涨 期 权 价 格 对 利 率 的 敏 感 性1 9 %1 7 %1 5 %1 3 %1 1 %9 %7 %5 %33 .544 .555 .566 .5利 率 ( r )看涨期权价格看 跌 期 权 价 格 对 执 行 价 格 的 敏 感 性6 86 35 85 34 84 33 8024681 01 21 4执 行 价 格 ( X )看跌期权价格看 跌 期 权 价 格 对 Sigma的 敏 感 性4 5 .0 %4 0 .0 %3 5 .0 %3 0 .0 %2 5 .0 %2 0 .0 %1 5 .0 %1 0 .0 %5 .0 %0 .0 %00 .511 .522 .533 .544 .55S i g m a看跌期权价格Exercise 2 中文Page 1162 9.87948964 11.52845看 跌 期 权 价 格 对 执 行 价 格 的 敏 感 性6 86 35 85 34 84 33 8024681 01 21 4执 行 价 格 ( X )看跌期权价格Exercise 2 中文Page 12下面: 敏感性的模拟运算表看 涨 期 权 价 格 对 股 票 价 格 的 敏 感 性6 45 95 44 94 43 93 4024681 01 21 41 61 8股 票 价 格看涨期权价格看 跌 期 权 价 格 对 Sigma的 敏 感 性4 5 .0 %4 0 .0 %3 5 .0 %3 0 .0 %2 5 .0 %2 0 .0 %1 5 .0 %1 0 .0 %5 .0 %0 .0 %00 .511 .522 .533 .544 .55S i g m a看跌期权价格Exercise 2 中文Page 13看 跌 期 权 价 格 对 Sigma的 敏 感 性4 5 .0 %4 0 .0 %3 5 .0 %3 0 .0 %2 5 .0 %2 0 .0 %1 5 .0 %1 0 .0 %5 .0 %0 .0 %00 .511 .522 .533 .544 .55S i g m a看跌期权价格看 涨 期 权 价 格 对 到 期 时 间 的 敏 感 性1 .61 .41 .210 .80 .60 .401234567891 0到 期 时 间看涨期权价格看 涨 期 权 价 格 对 利 率 的 敏 感 性1 9 %1 7 %1 5 %1 3 %1 1 %9 %7 %5 %33 .544 .555 .566 .5利 率 ( r )看涨期权价格看 跌 期 权 价 格 对 执 行 价 格 的 敏 感 性6 86 35 85 34 84 33 8024681 01 21 4执 行 价 格 ( X )看跌期权价格Exercise 2 中文Page 14看 跌 期 权 价 格 对 执 行 价 格 的 敏 感 性6 86 35 85 34 84 33 8024681 01 21 4执 行 价 格 ( X )看跌期权价格Exercise 3Page 15Black-Scholes option pricing formulaS 50 current stock priceX 50 exercise pricer 10.00% risk-free rate of interestT 0.5 time to maturity of option (in years)Sigma 25% stock volatilityd1 0.3712 -(LN(S/X)+(r+0.5*sigma2)*T)/(sigma*SQRT(T)d2 0.1945 - d1 - sigma*SQRT(T)N(d1) 0.6448 - Uses formula NormSDist(d1)N(d2) 0.5771 - Uses formula NormSDist(d2)call price 4.79 - S*N(d1)-X*exp(-r*T)*N(d2)put price 2.35 - call price - S + X*Exp(-r*T): by Put-Call parity2.35 - X*exp(-r*T)*N(-d2)-S*N(d1): direct formulaStock B-S IntrinsicPrice Value Value4.7936 0.1796 038 0.3639 040 0.6663 042 1.1198 044 1.7503 046 2.5725 048 3.5891 050 4.7911 052 6.1612 254 7.6768 456 9.3132 658 11.0463 860 12.8545 1062 14.7193 1264 16.6255 1466 18.5616 1668 20.5187 18I n t r i n s i c V a l u e v s . B - S V a l u e6 96 45 95 44 94 43 93 40 .0 0 0 05 .0 0 0 01 0 .0 0 0 01 5 .0 0 0 02 0 .0 0 0 02 5 .0 0 0 0S t o c k P r i c eCallPriceExercise 3Page 16Why no early exercise?The intrinsic value is always belowthe Black-Scholes value; hence, it is always better to sell the option (thusrealizing the BS value) than to exerciseit early (in which case you would getthe intrinsic value.I n t r i n s i c V a l u e v s . B - S V a l u e6 96 45 95 44 94 43 93 40 .0 0 0 05 .0 0 0 01 0 .0 0 0 01 5 .0 0 0 02 0 .0 0 0 02 5 .0 0 0 0S t o c k P r i c eCallPriceExercise 3 中文Page 17布莱克-斯科尔斯期权定价公式S 50当前的股票价格X 50执行价格r 10.00% 无风险利率T 0.5期权的到期时间(年)Sigma 25% 股票的波动性d1 0.3712 -(LN(S/X)+(r+0.5*sigma2)*T)/(sigma*SQRT(T)d2 0.1945 - d1 - sigma*SQRT(T)N(d1) 0.6448 - 使用公式 NormSDist(d1)N(d2) 0.5771 - 使用公式 NormSDist(d2)看涨期权价格 4.79 - S*N(d1)-X*exp(-r*T)*N(d2)看跌期权价格 2.35 - 看涨期权价格 - S + X*Exp(-r*T): 用看跌-看涨期权平价2.35 - X*exp(-r*T)*N(-d2)-S*N(d1): 直接公式股票 布莱克-斯科尔斯 内在价格 价值 价值4.7936 0.1796 038 0.3639 040 0.6663 042 1.1198 044 1.7503 046 2.5725 048 3.5891 050 4.7911 052 6.1612 254 7.6768 456 9.3132 658 11.0463 860 12.8545 1062 14.7193 1264 16.6255 1466 18.5616 1668 20.5187 18内 在 价 值 vs. 布 莱 克 - 斯 科 尔 斯 价 值6 96 45 95 44 94 43 93 40 .0 0 0 05 .0 0 0 01 0 .0 0 0 01 5 .0 0 0 02 0 .0 0 0 02 5 .0 0 0 0股 票 价 格看涨期权价格Exercise 3 中文Page 18为什么不提前执行?内下价值常常在布莱克-斯科尔斯价值下方;因此, 卖出期权往往好于 (意识到布莱克-斯科尔斯价值)提前执行(在这种情况下你将得到内在价值）内 在 价 值 vs. 布 莱 克 - 斯 科 尔 斯 价 值6 96 45 95 44 94 43 93 40 .0 0 0 05 .0 0 0 01 0 .0 0 0 01 5 .0 0 0 02 0 .0 0 0 02 5 .0 0 0 0股 票 价 格看涨期权价格Exercise 4Page 19Black-Scholes option pricing formulaS 50 current stock priceX 50 exercise pricer 10.00% risk-free rate of interestT 0.5 time to maturity of option (in years)sigma 25% stock volatilityd1 0.3712 -(LN(S/X)+(r+0.5*sigma2)*T)/(sigma*SQRT(T)d2 0.1945 - d1 - sigma*SQRT(T)N(d1) 0.6448 - Uses formula NormSDist(d1)N(d2) 0.5771 - Uses formula NormSDist(d2)call price 4.79 - S*N(d1)-X*exp(-r*T)*N(d2)put price 2.35 - call price - S + X*Exp(-r*T): by Put-Call parity2.35 - X*exp(-r*T)*N(-d2)-S*N(d1): direct formulaStock B-S IntrinsicPrice Value Value2.3536 11.7411 1438 9.9254 1240 8.2278 1042 6.6813 844 5.3118 646 4.1340 448 3.1506 250 2.3526 052 1.7227 054 1.2383 056 0.8746 058 0.6078 060 0.4160 062 0.2807 064 0.1870 0 When the stock price is low, the B-S value is less than the 66 0.1231 0 intrinsic value. If we could exercise early, the option would68 0.0802 0 have increased value. Hence: Early exercise may be valuablefor puts.I n t r i n i s i c V a l u e v s . B - S V a l u e o n P u t P r i c e7 66 65 64 63 60 .0 0 0 02 .0 0 0 04 .0 0 0 06 .0 0 0 08 .0 0 0 01 0 .0 0 0 01 2 .0 0 0 01 4 .0 0 0 0S t o c k P r i c e ( S )PutPriceExercise 4Page 20When the stock price is low, the B-S value is less than the intrinsic value. If we could exercise early, the option wouldhave increased value. Hence: Early exercise may be valuableI n t r i n i s i c V a l u e v s . B - S V a l u e o n P u t P r i c e7 66 65 64 63 60 .0 0 0 02 .0 0 0 04 .0 0 0 06 .0 0 0 08 .0 0 0 01 0 .0 0 0 01 2 .0 0 0 01 4 .0 0 0 0S t o c k P r i c e ( S )PutPriceExercise 4 中文Page 21布莱克-斯科尔斯期权定价公式S 50当前的股票价格X 50执行价格r 10.00% 无风险利率T 0.5期权到期时间 (年)sigma 25% 股票的波动性d1 0.3712 -(LN(S/X)+(r+0.5*sigma2)*T)/(sigma*SQRT(T)d2 0.1945 - d1 - sigma*SQRT(T)N(d1) 0.6448 - 使用公式 NormSDist(d1)N(d2) 0.5771 - 使用公式 NormSDist(d2)看涨期权价格 4.79 - S*N(d1)-X*exp(-r*T)*N(d2)看跌期权价格 2.35 -看涨期权价格 - S + X*Exp(-r*T): 通过看跌-看涨期权平价2.35 - X*exp(-r*T)*N(-d2)-S*N(d1): 直接公式股票 布莱克-斯科尔斯 内在价格 价值 价值2.3536 11.7411 1438 9.9254 1240 8.2278 1042 6.6813 844 5.3118 646 4.1340 448 3.1506 250 2.3526 052 1.7227 054 1.2383 056 0.8746 058 0.6078 060 0.4160 062 0.2807 064 0.1870 0 当股票价格较低时, 布莱克-斯科尔斯价值小于66 0.1231 0 内在价值. 如果我们提前执行，期权早就68 0.0802 0 增加价值. 如此: 对于看跌期权来说，提前执行可能更有价值在 看 跌 期 权 价 格 上 的 内 在 价 值 vs. 布 莱 克 - 斯 科 尔 斯 价 值 7 66 65 64 63 60 .0 0 0 02 .0 0 0 04 .0 0 0 06 .0 0 0 08 .0 0 0 01 0 .0 0 0 01 2 .0 0 0 01 4 .0 0 0 0股 票 价 格 (S )看跌期权价格Exercise 4 中文Page 22当股票价格较低时, 布莱克-斯科尔斯价值小于增加价值. 如此: 对于看跌期权来说，提前执行可能更有价值在 看 跌 期 权 价 格 上 的 内 在 价 值 vs. 布 莱 克 - 斯 科 尔 斯 价 值 7 66 65 64 63 60 .0 0 0 02 .0 0 0 04 .0 0 0 06 .0 0 0 08 .0 0 0 01 0 .0 0 0 01 2 .0 0 0 01 4 .0 0 0 0股 票 价 格 (S )看跌期权价格AMR OPTIONSStock price 27.82Current date 12-七月-07Expiration date 16-十一月-07Time to maturity, T 0.35 - =(B4-B3)/365Interest 5%Strike Call optionprice Implied volatility StrikePutoptionpriceImpliedvolatility15.0 13.50 15.0 0.1517.5 10.40 17.5 0.2520.0 8.40 20.0 0.5522.5 7.20 22.5 1.0625.0 4.90 25.0 1.9027.5 3.30 27.5 2.9530.0 2.30 30.0 4.3032.5 1.65 32.5 6.1035.0 1.00 35.0 7.4037.5 0.70 37.5 9.6040.0 0.45 40.0 12.7045.0 0.2550.0 0.05A B C D E F G123456789101112131415161718192021AMR 期权股票价格 27.82当前日 12-七月-07到期日 16-十一月-07到期时间, T 0.35 - =(B4-B3)/365利率 5%协议价格 看涨期权价格 隐含波动性 协议价格 看涨期权价格 隐含波动性15.0 13.50 15.0 0.1517.5 10.40 17.5 0.2520.0 8.40 20.0 0.5522.5 7.20 22.5 1.0625.0 4.90 25.0 1.9027.5 3.30 27.5 2.9530.0 2.30 30.0 4.3032.5 1.65 32.5 6.1035.0 1.00 35.0 7.4037.5 0.70 37.5 9.6040.0 0.45 40.0 12.7045.0 0.2550.0 0.05A B C D E F G123456789101112131415161718192021AMR OPTIONSStock price 27.82Current date 12-七月-07Expiration date 16-十一月-07Time to maturity, T 0.35 - =(B4-B3)/365Interest 5%Strike Option price Implied volatility15 13.5 81.81% - =callvolatility($B$2,A9,$B$5,$B$6,B9)17.5 10.4 0.00%20 8.4 43.19%22.5 7.2 62.92%25 4.9 48.87%27.5 3.3 44.85%30 2.3 45.53%32.5 1.65 47.30%35 1 45.32%37.5 0.7 46.65%40 0.45 46.62%45 0.25 49.79%50 0.05 44.29%PUT OPTIONSStrike Option price Implied volatility15 0.15 64.52% - =putvolatility($B$2,A26,$B$5,$B$6,B26)17.5 0.25 57.02%20 0.55 55.11%22.5 1.06 53.52%25 1.9 53.37%27.5 2.95 51.84%30 4.3 50.69%32.5 6.1 52.62%35 7.4 41.89%37.5 9.6 43.53%40 12.7 64.10%There is basically no smile.C a l l O p t i o n I m p l i e d V o l a t i l i t y5 04 54 03 53 02 52 01 50 %1 0 %2 0 %3 0 %4 0 %5 0 %6 0 %7 0 %8 0 %9 0 %S t r i k e4 03 53 02 52 01 50 %1 0 %2 0 %3 0 %4 0 %5 0 %6 0 %7 0 %A B C D123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142C a l l O p t i o n I m p l i e d V o l a t i l i t y5 04 54 03 53 02 52 01 50 %1 0 %2 0 %3 0 %4 0 %5 0 %6 0 %7 0 %8 0 %9 0 %S t r i k e4 03 53 02 52 01 50 %1 0 %2 0 %3 0 %4 0 %5 0 %6 0 %7 0 %E F G H I123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142AMR OPTIONS股票价格 27.82当前日期 12-七月-07到期日 16-十一月-07到期时间, T 0.35 - =(B4-B3)/365利率 5%协议价格 期权价格
